Question

如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：DE∥平面BCP；

(2)求證：四邊形DEFG為矩形；

(3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由．

Answer 1

解：

(1)證明：因?yàn)?i>D，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PC.

又因?yàn)?i>DE⊄平面BCP，

所以DE∥平面BCP.

(2)證明：因?yàn)?i>D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，

所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，

所以四邊形DEFG為平行四邊形．

又因?yàn)?i>PC⊥AB，

所以DE⊥DG，

所以四邊形DEFG為矩形．

(3)存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：

連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)．

由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.

分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.

與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，

且QM＝QN＝EG，

所以Q為滿足條件的點(diǎn)．