Question

選修4-5：不等式選講已知x，y，z為實數(shù)，且x+2y+3z=

7

，
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）設(shè)|2t-1|=x²+y²+z²，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由柯西不等式（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²
得14(x2+y2+z2)≥(

7

)2=7，所以x2+y2+z2≥

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)|x|=

1

2

|y|=

1

3

|z|時取等號，即x²+y²+z²的最小值為

1

2

…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得|2t-1|≥

1

2

，則2t-1≥

1

2

或2t-1≤-

1

2

，解得t≥

3

4

或t≤

1

4

，
即實數(shù)t的取值范圍是(-∞，

1

4

]∪[

3

4

，+∞)…（7分）