Question

【題目】已知函數f（x）= （a，b∈R，且a≠0，e為自然對數的底數）．
（1）若曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線斜率為0，且f（x）有極小值，求實數a的取值范圍．
（2）①當 a=b=l 時，證明：xf（x）+2＜0； ②當 a=1，b=﹣1 時，若不等式：xf（x）＞e+m（x﹣1）在區(qū)間（1，+∞）內恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，∴f′（x）= ．

∵f′（e）=0，∴b=0，則f′（x）= ．

當a＞0時，f′（x）在（0，e）內大于0，在（e，+∞）內小于0，

∴f（x）在（0，e）內為增函數，在（e，+∞）內為減函數，即f（x）有極大值而無極小值；

當a＜0時，f（x）在（0，e）內為減函數，在（e，+∞）內為增函數，即f（x）有極小值而無極大值．

∴a＜0，即實數a的取值范圍為（﹣∞，0）；

（2）解：①證明：當a=b=1時，設g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．

g′（x）= 在區(qū)間（0，+∞）上為減函數，又g′（1）=1﹣e＜0，g′（ ）=2﹣ ．

∴存在實數x0∈（ ，1），使得 ．

此時g（x）在區(qū)間（0，x0）內為增函數，在（x0，+∞）內為減函數．

又 ，

∴ ，x0=﹣lnx0．

由單調性知， = ．

又x0∈（ ，1），∴﹣（ ）＜﹣2．

∴g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；

②xf（x）＞e+m（x﹣1）xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，

當 a=1，b=﹣1 時，設h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．

則h′（x）= ．

令t（x）=h′（x）= ．

∵x＞1，∴t′（x）= ．

∴h′（x）在（1，+∞）內單調遞增，

∴當x＞1時，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．

（i）當1+e﹣m≥0時，即m≤1+e時，h′（x）＞0，

∴h（x）在區(qū)間（1，+∞）內單調遞增，

∴當x＞1時，h（x）＞h（1）=e恒成立；

(ii)當1+e﹣m＜0時，即m＞1+e時，h′（x）＜0，

∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）=0．

∴h（x）在區(qū)間（1，x0）內單調遞減，在（x0，+∞）內單調遞增．

由h（x0）＜h（1）=e，

∴h（x）＞e不恒成立．

綜上所述，實數m的取值范圍為（﹣∞，1+e]．

∴實數m的最大值為：1+e

【解析】（1）求出原函數的導函數，由f′（e）=0得b=0，可得f′（x）= ．然后對a分類討論，可知當a＞0時，f（x）有極大值而無極小值；當a＜0時，f（x）有極小值而無極大值．從而得到實數a的取值范圍為（﹣∞，0）；（2）（i）當a=b=1時，設g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．求其導函數，可得g′（x）= 在區(qū)間（0，+∞）上為減函數，結合零點存在定理可得存在實數x0∈（ ，1），使得 ．得到g（x）在區(qū)間（0，x0）內為增函數，在（x0 ， +∞）內為減函數．又 ，得 ，x0=﹣lnx0 ． 由單調性知g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，當 a=1，b=﹣1 時，設h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．利用兩次求導可得當x＞1時，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．然后分當1+e﹣m≥0時和當1+e﹣m＜0時求解m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．