Question

（2007•無錫二模）數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足3S_n=4014+a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設f（n）表示該數列的前n項的積，n取何值時，f（n）有最大值？

Answer 1

分析：（1）n=1，求a₁，n≥2，求得

an

an-1

=-

1

2

，數列{a_n}的通項公式可求；
（2）由題意可求得f(n)=2007n(-

1

2

)

n(n-1)

2

，f(n+1)=2007n+1(-

1

2

)

n(n+1)

2

，

|f(n+1)|

|f(n)|

=

2007

2n

，分

|f(n+1)|

|f(n)|

＞1與

|f(n+1)|

|f(n)|

＜1討論n的取值情況，并對
f（9）、f（10）、f（11）、f（12）逐項判斷其正負后比較其大�。�

解答：解：（1）∵n=1時，3a₁=4014+a₁，得a₁=2007n≥2時，3S_n=4014+a_n，3S_n-1=4014+a_n-1，
兩式相減得：3a_n=a_n-a_n-1
即：

an

an-1

=-

1

2

∴數列{a_n}為首項a₁=2007，公比為-

1

2

的等比數列，∴an=2007(-

1

2

)n-1．
（2）∵f(n)=2007•2007(-

1

2

)•2007(-

1

2

)2•…•2007(-

1

2

)n-1=2007n(-

1

2

)

n(n-1)

2

f(n+1)=2007•2007(-

1

2

)•2007(-

1

2

)2•…•2007(-

1

2

)n-1•2007(-

1

2

)n=2007n+1(-

1

2

)

n(n+1)

2

，
∴

|f(n+1)|

|f(n)|

=

2007

2n

∴當n≤10時，

|f(n+1)|

|f(n)|

＞1，當n＞10時，

|f(n+1)|

|f(n)|

＜1．
∴|f（1）|＜|f（x）|＜…＜|f（10）|，|f（11）|＞|f（12）|＞|f（13）|＞…
又∵f(11)=200711(-

1

2

)

11×10

2

＜0，f(10)=200710(-

1

2

)

10×9

2

＜0，f(9)=20079(-

1

2

)

9×8

2

＞0，f(12)=200712(-

1

2

)

12×11

2

＞0，
（或從f（11）共6正5負相乘，f（10）共5正5負相乘，f（9）共5正4負相乘，f（12）共6正6負相乘也可判斷符號）
∴只需比較f（9）與f（12）的大小，就可以確定f（n）的最大值，
又∵

f(12)

f(9)

=

20073

230

=(

2007

210

)3=(

2007

1024

)3＞1，∴f（12）＞f（9），
綜上：n=12時，f（n）有最大值．

點評：本題考查數列遞推公式，難點在于得到當n≤10時，

|f(n+1)|

|f(n)|

＞1，當n＞10時，

|f(n+1)|

|f(n)|

＜1，需要對f（9）、f（10）、f（11）、f（12）逐項判斷其正負，并在同正條件下作商比較，屬于難題．