Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+sinx，若0≤θ≤

π

2

時，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

A．（0，1]

B．（-∞，1）

C．（-∞，1]

D．(0， 1 2 )

Answer 1

由函數(shù)f（x）=）=x³+sinx，可知f（x）為奇函數(shù)，f′（x）=3x²+cosx，
又當-1≤x≤1時，cosx＞0，x²＞0，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0，
當x＜-1或x＞1時，x²＞1，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0，
綜上所述，對任意x∈R，f′（x）=3x²+cosx＞0
∴f（x）=）=x³+sinx是增函數(shù)；
∵f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m-1）恒成立，
∴mcosθ＞m-1，令g（m）=（cosθ-1）m+1，
當0≤θ≤

π

2

，mcosθ＞m-1恒成立，等價于g（m）=（cosθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤

π

2

，
∴cosθ∈[0，1]，
∴cosθ-1≤0，
∴當θ=0時，（cos0-1）m+1＞0恒成立，①
當θ=

π

2

時，（cos

π

2

-1）m+1＞0恒成立，②
由①②得：m＜1．
故選B．