Question

（12分）在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)A₁在底面ABC上射影O

       恰是BC的中點(diǎn)。

   （1）求證：A₁A⊥BC；

   （2）當(dāng)側(cè)棱AA₁和底面成45°角時(shí)，求二面角A―AC―B的

   （3）若D為側(cè)棱AA₁上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，BD⊥A₁C₁。

Answer 1

解析：解法一：（1）連接AO，∴AO₁⊥面ABC，AO⊥BC. ∴A₁A⊥BC。                ??4分

   （2）由（1）得∠A₁AO=45°

由底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

       可知AO=3

       ∴A₁O=3，AA₁=3

       過(guò)O作OE⊥AC于E，連接A₁E，

       則∠A₁EO為二面角A₁―AC―B                ????6分

       ∵∴tan∠A₁EO=                                                         ???7分

       即二面角A₁―AC―B的大小為arctan2.                                                           ???8分

   （3）過(guò)D作DF∥A₁O，交AO于F，則DF⊥平面ABC，

       ∴BC為BD在面ABC內(nèi)的射影，

       又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即證BF⊥AC，

       ∴F為△ABC的中心，

       ∴                                                                                         ???12分

       解法二：以O為原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸，OA₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系。

   （1）由題意知∠A₁AO=45°，A₁O=3

∴O（0，0，0）C（，0，0），A（0，3，0），A₁（0，0，3），B（，0，0）

       ∵（0，-3，3），=（2，0，0）

       ∴

       ∴AA₁⊥BC                                              ????4分

   （2）設(shè)面ACA₁的法向量為

       則

       令z=1，則x=，y=1， ∴=（，1，1）                                             ????5分

       而面ABC的法向量為=（0，0，1）（6分）

       cos（，）=

       又顯然所求二面角的平面角為銳角，

       ∴所求二面角的大小為arccos                                                                   ???8分

   （3）A₁C₁∥AC，故只需BD⊥AC即可，設(shè)AD=a，則D（0，，）

       又B（，0，0），則（，，），（，-3，0）。

       要使BD⊥AC，須

       得，而A₁A=3， ∴A₁D=，