【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足：

（1）求：，

（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（3）若且對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)詳解；（3）

【解析】

（1）通過(guò)賦值，結(jié)合已知條件，即可求得；

（2）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，進(jìn)行歸納總結(jié)，再遵循數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程即可證明；

（3）先求，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為恒成立問(wèn)題，再求最值即可.

（1）

因?yàn)?/span>，故

（2）由（1）猜想

①當(dāng)時(shí)，，顯然成立

②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即

則當(dāng)時(shí)，

即證當(dāng)時(shí)候，猜想成立；

綜上所述：對(duì)任意正整數(shù)都成立.

（3）因?yàn)?/span>，故：

若對(duì)于恒成立，則只需滿(mǎn)足恒成立即可

當(dāng)時(shí)，恒成立滿(mǎn)足題意；

當(dāng)時(shí)，顯然不可能成立；

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸

故在單調(diào)遞減，

故

解得，又，

故當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意.

綜上所述，時(shí)，對(duì)于恒成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知拋物線過(guò)點(diǎn)，是拋物線上異于點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).

（I）當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，求直線的方程；

（II）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】某校學(xué)生社團(tuán)組織活動(dòng)豐富，學(xué)生會(huì)為了解同學(xué)對(duì)社團(tuán)活動(dòng)的滿(mǎn)意程度，隨機(jī)選取了100位同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿(mǎn)意度評(píng)分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6組，制成如圖所示頻率分布直方圖．

（1）求圖中x的值；

（2）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）現(xiàn)從被調(diào)查的問(wèn)卷滿(mǎn)意度評(píng)分值在[60，80）的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談了解，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人作主題發(fā)言，求抽取的2人恰在同一組的概率．

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的垂線，該垂線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，記的軌跡為.

(1)求的方程；

(2)若過(guò)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖像與軸相切，求證：對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù)，，都有.

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【題目】定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為該橢圓的“特征三角形”；如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱(chēng)為橢圓的相似比，已知橢圓.

（1）若橢圓，判斷與相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）寫(xiě)出與橢圓相似且焦點(diǎn)在軸上，短半軸長(zhǎng)為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）如圖：直線與兩個(gè)“相似橢圓”和分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，試在橢圓和橢圓上分別作出點(diǎn)和點(diǎn)（非橢圓頂點(diǎn)），使和組成以為相似比的兩個(gè)相似三角形，寫(xiě)出具體作法.（不必證明）

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【題目】矩陣乘法運(yùn)算的幾何意義為平面上的點(diǎn)在矩陣的作用下變換成點(diǎn)，記，且.

（1）若平面上的點(diǎn)在矩陣的作用下變換成點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若平面上相異的兩點(diǎn)、在矩陣的作用下，分別變換為點(diǎn)、，求證：若點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，則點(diǎn)在的作用下的點(diǎn)在線段上；

（3）已知△的頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、，且△在矩陣作用下變換成△，記△與△的面積分別為與，求的值，并寫(xiě)出一般情況（三角形形狀一般化且變換矩陣一般化）下與的關(guān)系（不要求證明）.

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（1）證明:平面平面；

（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的大小.

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