Question

已知cos（

π

2

-θ）=

3

5

，θ∈（

π

2

，π）．
（Ⅰ）求cosθ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-

5

6

sinθcos2x的增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,同角三角函數(shù)基本關系的運用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)的誘導公式和同角三角函數(shù)的關系式求出結果．
（Ⅱ）對三角函數(shù)關系式進行恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，進一步利用整體思想求出函數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間．

解答： （Ⅰ）解：由cos(

π

2

-θ)=

3

5

，
得sinθ=

3

5

，
又sin²θ+cos²θ=1，
所以cos2θ=

16

25

因為θ∈(

π

2

，π)，
所以cosθ=-

4

5

（Ⅱ）f(x)=

3

sinxcosx-

5

6

sinθcos2x
=

3

sinxcosx-

5

6

×

3

5

cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以，函數(shù)f（x）的增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．

點評：本題考查的知識要點：同角三角恒等式的應用，三角函數(shù)關系式的恒等變換，利用整體思想求三角函數(shù)的單調區(qū)間，屬于基礎題型．