Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，．

（Ⅰ）設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；

（Ⅱ）求證: 當(dāng)時(shí)，有；

（Ⅲ）設(shè),當(dāng)時(shí),不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，取得最大值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．由（1）知：當(dāng)時(shí)，，即．

因此，有．

（Ⅲ）整數(shù)的最大值是. 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）,所以 ．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值；           ………………3分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．由（1）知：當(dāng)時(shí)，，即．

因此，有．………………7分

（Ⅲ）不等式化為所以

對(duì)任意恒成立．令，則，

令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032510152840626391/SYS201303251016173593896973_DA.files/image032.png">，

所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．

當(dāng)，即，當(dāng)，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以．

所以．故整數(shù)的最大值是.     ……………13分

考點(diǎn)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性及不等式中的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：較難題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，解題時(shí)注意函數(shù)的定義域，避免出錯(cuò)。