Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（x-

π

3

）+2sin（

3π

2

-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的最大值并求f（x）取得最大值時(shí)的x的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用倍角公式和和差差公式，可將函數(shù)f（x）的解析式化為f（x）=2sin（x-

π

6

）的形式，
（2）令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π（k∈Z），解出x的范圍，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，
（3）令x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），結(jié)合A=2，可得f（x）的最大值并求f（x）取得最大值時(shí)的x的取值集合．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosxcos

π

3

+2sinxsin

π

3

-2cosx=cosx+

3

sinx-2cosx=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），
（2）令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π（k∈Z），
∴2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

（k∈Z），
∴單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]（k∈Z）
（3）f（x）取最大值2時(shí)，x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
則x=2kπ+

2π

3

（k∈Z）．
∴f（x）的最大值是2，取得最大值時(shí)的x的取值集合是{x|x=2kπ+

2π

3

，k∈Z}

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．