Question

列出二項(xiàng)式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展開式中：
（1）常數(shù)項(xiàng)；（答案用組合數(shù)表示）
（2）有理項(xiàng)．（答案用組合數(shù)表示）

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：寫出二項(xiàng)式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展開式的通項(xiàng)T_r+1，當(dāng)T_r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，x的指數(shù)為0，由此求出常數(shù)項(xiàng)；
當(dāng)T_r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，x的指數(shù)為整數(shù)，由此求出有理項(xiàng)．

解答： 解：∵二項(xiàng)式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展開式中通項(xiàng)為：
T_r+1=(-1)r

C

r 15

(

3	x

)15-r(

2

x

)r
=(-1)r2r

C

r 15

x

30-5r

6

；
∴（1）設(shè)T_r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則

30-5r

6

=0，
解得r=6，
即常數(shù)項(xiàng)為T₇=2⁶

C

6 15

；
（2）設(shè)T_r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則

30-5r

6

=5-

5

6

r為整數(shù)，
∴r為6的倍數(shù)，
又∵0≤r≤15，
∴r可取0，6，12三個(gè)數(shù)，
故共有3個(gè)有理項(xiàng)；
 分別為T1=x5，T₇=2⁶

C

6 15

，T13=212x-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是熟練地應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．