Question

6．設函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x，其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)．
（1）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x））（x），n∈N₊，猜想g_n（x）的表達式；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)的運算法則可得f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，可得g₁（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₂（x）=$\frac{x}{1+2x}$，g₃（x）=$\frac{x}{1+3x}$，
即可猜想出g_n（x）．
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{1+x}$（x＞-1），可得h′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{a}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x-（a-1）}{（1+x）^{2}}$，
對a分類討論：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）由已知g₁（x）=$\frac{x}{1+x}$，g₂（x）=$\frac{x}{1+2x}$，g₃（x）=$\frac{x}{1+3x}$，
猜想g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$．
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{1+x}$（x＞0），
則h′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{a}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x-（a-1）}{（1+x）^{2}}$，
①當a≤1時，即a-1≤0時，x∈[0，+∞），h′（x）≥0，（僅當x=0，a=1時等號成立），∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
故當x∈（0，+∞）時，h（x）≥h（0）=0．
即a≤1時，f（x）≥ag（x）恒成立．
②當a＞1時，a-1＞0時，若x∈[0，a-1），則h′（x）＜0，
∴h（x）在區(qū)間[0，a-1）上單調(diào)遞減．
故h（a-1）＜h（0）=0．
即a＞1時，存在x∈[0，+∞）使h（x）＜0．
即f（x）≥ag（x）不恒成立．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．