Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，（n+1）a_n=S_n+n³+n²，則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：在數(shù)列遞推式中取n=n-1得到另一遞推式，作差后整理得到a_n-a_n-1=3n-1（n≥2），然后利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答： 解：由（n+1）a_n=S_n+n³+n²，得
nan-1=Sn-1+(n-1)3+(n-1)2（n≥2），
兩式作差并整理得，a_n-a_n-1=3n-1（n≥2），
∴a₂-a₁=5．
a₃-a₂=8．
a₄-a₃=11．
…
a_n-a_n-1=3n-1（n≥2）．
累加得：an-a1=5+8+…+3n-1=

(5+3n-1)(n-1)

2

，
∵a₁=2，
∴an=

3n2+n

2

n≥2）．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立，
∴an=

3n2+n

2

．
故答案為：

3n2+n

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．