Question

已知函數(shù)f（x）=

-x，x＜0 x ，x≥0.

使關(guān)于x的方程f（x）=a（x+1）有三個不相等的實數(shù)根的充分不必要條件是（　　）

• A、{a|a≥

  1

  2

  }
• B、{a|

  1

  2

  ＜a＜1}
• C、{a|0＜a＜

  1

  2

  }
• D、{a|0＜a＜

  1

  4

  }

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，直線y=a（x+1）與曲線y=

x

相交時，與f（x）的圖象有三個交點，求出直線與曲線y=

x

相切時的斜率，即可得到a的取值范圍．再根據(jù)要求的a的范圍應(yīng)是它的子集，可得結(jié)論．

解答： 解：本題即求函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=a（x+1）的圖象有三個不同的交點的充分不必要條件，
下邊先求函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=a（x+1）的圖象有三個不同的交點的充要條件．
作出函數(shù)f（x）的圖象，如右圖：作出直線y=a（x+1），則直線恒過（-1，0），
關(guān)于x的方程f（x）=a（x+1）有三個不相等的實數(shù)根，即為當(dāng)直線與曲線y=

x

相交時，
與f（x）的圖象有三個交點，
當(dāng)直線與曲線y=

x

相切時，設(shè)切點為（m，

m

），
則y′=

1

2

•

1

x

，則切線斜率為

1

2

•

1

m

=a，
又a（m+1）=

m

，由此解得，a=

1

2

（負(fù)的舍去），故此時a的取值范圍是（0，

1

2

）．
而要求的a的范圍應(yīng)是（0，

1

2

）的子集，結(jié)合所給的選項，
故選：D．

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查分段函數(shù)的圖象和應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及運用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于中檔題．