Question

在正三棱錐S-ABC中，外接球的表面積為16π，M，N分別是SC，BC的中點，且MN⊥AM，則此三棱錐側棱SA=

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：由題意可證MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，由此利用外接球的表面積公式求出直徑，再求出SA．

解答： 解：∵三棱錐S-ABC正棱錐，
∴SB⊥AC（對棱互相垂直），MN∥SB，∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，
將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，
設SA=SB=SC=a，外接球的半徑為R，
則4πR²=16π，∴R=2，
∴2R=4=

3a2

，a=

4 3

3

．
故答案為：

4 3

3

．

點評：考查三棱錐的外接球的表面積，考查空間想象能力，三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關鍵．