Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）設(shè)，當λ為何值時，二面角C-A′B′-P的大小為60°？

Answer 1

【答案】分析：（I）利用線面平行的判定定理即可證明FC∥平面A'PE．再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明B^′F∥A^′E，進而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到
平面B'CF∥平面A'PE，從而得到線面平行；
（II）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．
解答：（Ⅰ）證明：∵FC∥PE，F(xiàn)C?平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．
∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．
同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，從而B'F∥平面A'PE．
∴平面B'CF∥平面A'PE，從而B'C∥平面A'PE．
（Ⅱ）以C為原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖．
則C（0，0，0），，，．
∴，，．
平面CA'B'的一個法向量，
平面PA'B'的一個法向量．
由，
化簡得，解得．
點評：熟練掌握線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、面面平行的判定與性質(zhì)定理、線面平行、通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的方法等是解題的關(guān)鍵．