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如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．
分析：（Ⅰ）已知AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．可得
AP
=
AR
+
AC
2
，
AR
=
AQ
+
AB
2
，
AQ
=
1
2
AP
，消去
AR
，
AQ
，即可求解；
（Ⅱ）AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM其面積和三角形ABC的面積可以用公式s=
1
2
absinC，這個公式進行求解，再根據（Ⅰ）的結論很容易進行求解；
解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，
AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
AP
=
AR
+
AC
2
，
AR
=
AQ
+
AB
2
，
AQ
=
1
2
AP
，消去
AR
，
AQ

∵
AP
=λa+μb，
可得
AP
=
1
2
（
AQ
+
AB
2
）+
1
2
AC
=
1
4
×
1
2
AP
+
1
4
AB
+
1
2
AC
，
可得
AP
=
2
7
AB
+
4
7
AC
=λ
a
+μ
b
，
∴
λ=
2
7
μ=
4
7
；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，
∵得
AP
=
2
7
AB
+
4
7
AC
，
∴
S平行四邊形ANPM
S平行四邊形ABC
=
|AN|•|AM|•sin∠CAB
1
2
|AB|•|AC|•sin∠CAB
=2•
|AN|
|AB|
•
|AM|
|AC|
=2×
2
7
×
4
7
=
16
49
；
點評：此題主要考查向量中點的應用以及三角形面積公式的應用，本題涉及三角形中位線定理，以及向量中點的巧妙應用，是一道好題；
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3
BD，BC=2BD，則sinC的值為（　�。�
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大�。�
（2）求AB的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，則
AD
=（　�。�

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