Question

已知定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）=x-lnx-2，g（x）=xlnx+x．
（1）求證：f（x）存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于（3，4）；
（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x-1）對任意的x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=0，得：x-2=lnx，畫出函數(shù)y=x-2，y=lnx的圖象，讀出即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為k＜

xlnx+x

x-1

在x＞1上恒成立，令h（x）=

xlnx+x

x-1

，求出最小值即可．

解答： （1）證明：令f（x）=0，得：x-2=lnx，
畫出函數(shù)y=x-2，y=lnx的圖象，如圖示：
∴f（x）存在唯一的零點(diǎn)，
又f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（1-ln2）＞0，
∴零點(diǎn)屬于（3，4）；

（2）解：由g（x）＞k（x-1）對任意的x＞1恒成立，
得：k＜

xlnx+x

x-1

，（x＞1），
令h（x）=

xlnx+x

x-1

，（x＞1），則h′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

=

f(x)

(x-1)2

，
設(shè)f（x₀）=0，則由（1）得：3＜x₀＜4，
∴h（x）在（1，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
而3＜h（3）=

3ln3+3

2

＜4，

8

3

＜h（4）=

4ln4+4

3

＜4，
∴h（x₀）＜4，
∴k的最大值是3．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．