Question

已知：數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=x+1的圖象上，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）b_n=2a_n-13，求S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|；
（3）c_n=

1

(2an-1)(2an+1)

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式T_n＞

k

16

對一切n∈N^*都成立的最大的正整數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=x+1的圖象上，可得a_n+1=a_n+1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=2a_n-13=2n-13．可得|bn|=

-bn，n≤6 bn，n≥7

．當(dāng)n≤6時(shí)，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂-…-b_n，當(dāng)n≥7時(shí)，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂-…b₆+b₇+…b_n，即可得出；
（3）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出T_n，解出即可．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=x+1的圖象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）×1=n．
（2）b_n=2a_n-13=2n-13．
∴|bn|=|2an-13|=|2n-13|=

-bn(n≤6) bn(n≥7)

，
當(dāng)n≤6時(shí)，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=-b₁-b₂-…-b_n
=11+9+…+（13-2n）
=12n-n²；
當(dāng)n≥7時(shí)，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=-b₁-b₂-…b₆+b₇+…b_n
=2s6-(12n-n2)=72-12n+n2，
∴sn=

12n-n2(n≤6) 72-12n+n2(n≥7)

．
（3）cn=

1

(2an-1)(2an+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

…

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
∵Tn＞

k

16

即

n

2n+1

＞

k

16

，化為 

16n

2n+1

＞k．
∵

16n

2n+1

=

16n+8-8

2n+1

=8-

8

2n+1

，
而

8

2n+1

≤

8

3

，
∴

16n

2n+1

=8-

8

2n+1

≥8-

8

3

=

16

3

．）
∴對一切n∈N*都成立，可以得出

16

3

＞k．
∴最大的正整數(shù)k=5．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、不等式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．