Question

已知函數(shù)g（x）=x²-（a+b）x+ab，其中a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=xg（x），
（1）當x＞0時，函數(shù)g（x）的值恒為非負數(shù)，且f（x）在x=1處取到極大值，求a的值；  
（2）若f（x）在x=x₁和x=x₂處分別取到極大值和極小值，記A[x₁，f（x₁）]，B[x₂，f（x₂）]，O是坐標原點，若直線OA與直線OB垂直，求a+b的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用,平面向量及應用

分析：（1）由函數(shù)g（x）=x²-（a+b）x+ab的圖象是開口朝上，且以直線x=

a+b

2

為對稱軸的拋物線，故當x=

a+b

2

時，函數(shù)g（x）取最小值，若當x＞0時，函數(shù)g（x）的值恒為非負數(shù)，則g（

a+b

2

）=-(

a-b

2

)2≥0，故a=b，由f（x）在x=1處取到極大值，則

a+b- a2+b2-ab

3

=1，聯(lián)立方程可得a值；
（2）由直線OA與直線OB垂直，可得x₁•x₂+f（x₁）•f（x₂）=0，進而根據(jù)判斷式法可得a+b的最小值．

解答： 解：（1）∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，ab＞0，
又由函數(shù)g（x）=x²-（a+b）x+ab的圖象是開口朝上，且以直線x=

a+b

2

為對稱軸的拋物線，
故當x=

a+b

2

時，函數(shù)g（x）取最小值，
若當x＞0時，函數(shù)g（x）的值恒為非負數(shù)，則g（

a+b

2

）=-(

a-b

2

)2≥0，
即a=b，…①
又∵f（x）=xg（x）=x³-（a+b）x²+abx，
故f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
若f（x）在x=1處取到極大值，
則

a+b- a2+b2-ab

3

=1…②，
解得a=b=3，
（2）∵f（x）=xg（x）=x³-（a+b）x²+abx，
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
若f（x）在x=x₁和x=x₂處分別取到極大值和極小值，
則x₁+x₂=

2(a+b)

3

，x₁•x₂=

ab

3

，
∵f（x₁）=x₁³-（a+b）x₁²+abx₁，f（x₂）=x₂³-（a+b）x₂²+abx₂，
故f（x₁）•f（x₂）=

4a3b3-a2b2(a+b)2

27

，
若直線OA與直線OB垂直，
則x₁•x₂+f（x₁）•f（x₂）=

9ab+4a3b3-a2b2(a+b)2

27

=0
即ab[9+4a²b²-ab（a+b）²]=0，
即9+4a²b²-ab（a+b）²=0，
則△=（a+b）⁴-144≥0
解得a+b≥2

3

，
即a+b的最小值為2

3

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，向量垂直的充要條件，運算量大，綜合性強，轉化難度大，屬于難題．