Question

設(shè)橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，長軸長為，設(shè)過右焦點(diǎn)F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證|AB|=；
（Ⅲ）設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)求解．
（Ⅱ）將直線和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理，再用弦長公式求解．
（III）用（II）的方法表示出|CD|，再有|AB|+|CD|=+=，再用三角函數(shù)求得最值．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得：
⇒
所求橢圓M的方程為（4分）
（Ⅱ）當(dāng)θ≠，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點(diǎn)F（3，0），
則直線AB的方程為y=k（x-3）
有⇒（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
有x₁+x₂=，x₁x₂=
|AB|=**（6分）
又因?yàn)閗=tanθ=代入**式得
|AB|=（8分）
當(dāng)θ=時(shí)，直線AB的方程為x=3，
此時(shí)|AB|=（10分）
而當(dāng)θ=時(shí)，|AB|==
綜上所述所以|AB|=（11分）
（Ⅲ）過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，
同理可得|CD|==（12分）
有|AB|+|CD|=+=
因?yàn)閟in2θ∈[0，1]，
所以當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1時(shí)，
|AB|+|CD|有最小值是（16分）
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓方程的求法和直線與橢圓中弦長公式的應(yīng)用，滲透了函數(shù)求最值的問題．