Question

設橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，長軸長為，設過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（2）設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意列出關于a，b，c的方程組；解之即得a，b，從而寫出所求橢圓M的方程；
（Ⅱ）當θ≠，設直線AB的斜率為k=tanθ，焦點F （ 3，0 ），則直線AB的方程為y=k （ x-3 ），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得|AB|+|CD|的最小值，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）⇒所求橢圓M的方程為…（3分）
（Ⅱ）當θ≠，設直線AB的斜率為k=tanθ，焦點F （ 3，0 ），則直線AB的方程為y=k （ x-3 ）有⇒（ 1+2k² ）x²-12k²x+18（ k²-1 ）=0
設點A （ x₁，y₁ ），B （ x₂，y₂ ）有x₁+x₂=，x₁x₂=
|AB|=
又因為k=tanθ=代入**式得|AB|=
當θ=時，直線AB的方程為x=3，此時|AB|=
而當θ=時，|AB|==
∴|AB|=
同理可得|CD|==
有|AB|+|CD|=+=
因為sin2θ∈[0，1]，所以 當且僅當sin2θ=1時，|AB|+|CD|有最小值是
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．