如圖所示，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：平面ADE⊥平面PBC；
（3）求直線AE與平面ABCD所成角的余弦值．
（1）連接AC，交BD于O，連接EO．
∵四邊形ABCD是正方形，∴O為AC中點，
∵△PAC中，E為PA的中點，
∴OE是△PAC的中位線，可得OE∥PA．
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC
又∵CD⊥BC，PD、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線
∴BC⊥平面PCD，結(jié)合DE?平面PCD，得DE⊥BC，
∵△PCD中，PD=DC，E為P中點，∴DE⊥PC，
∵PC、BC是平面PBC內(nèi)的相交直線
∴DE⊥平面PBC
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面PBC；
（3）取CD中點，連接AH、EH
∵△PCD中，E、H分別為PC、CD的中點
∴EH∥PD，結(jié)合PD⊥平面ABCD，可得EH⊥平面ABCD
因此，AH就是AE在平面BACD內(nèi)的射影
∴∠EAH就是直線AE與平面ABCD所成角
∵Rt△AEH中，AH=
AD2+DH2
=
5
，EH=
1
2
PD=1
∴AE=
AH2+EH2
=
6
，可得cos∠EAH=
AH
AE
=
30
6

即直線AE與平面ABCD所成角的余弦值為
30
6
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

平行六面體ABCD=A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3．∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°
求AC1的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一動點（可以與A1或B1重合），過D1和C1C的平面與AB交于D．
（Ⅰ）證明BC∥平面AB1C1；
（Ⅱ）若D1為A1B1的中點，求三棱錐B1-C1AD1的體積VB1-C1AD1．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P、Q分別是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．
（1）證明：PQ∥平面DD1C1C；
（2）求線段PQ的長；
（3）求PQ與平面AA1D1D所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=
1
2
PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線OD與平面PBC所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=
2
，AA1=2，如圖，
（1）當點P在BB1上運動時（點P∈BB1，且異于B，B1）設(shè)PA∩BA1=M，PC∩BC1=N，求證：MN∥平面ABCD
（2）當點P是BB1的中點時，求異面直線PC與AD1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點．
（1）求CAl與底面ABCD所成角的正切值；
（2）證明A1C∥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖是一個長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖（單位：cm）．
（1）畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在所給直觀圖中連接BC'，證明：BC'∥平面EFG．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（單位：cm），E為PA的中點．
（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

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