Question

（2012•珠海一模）已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+2x，x∈R
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈（2，+∞）時(shí)，f(x)＞

1

2

x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用根的判別式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）x∈（2，+∞）時(shí)，f(x)＞

1

2

x恒成立，等價(jià)于x∈（2，+∞）時(shí)，x+

3

2x

＞a，求出左邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+2，△=（-2a）²-4×3×2=4a²-24
①當(dāng)△≥0，即a≤-

6

或a≥

6

時(shí)，f（x）在R上為增函數(shù)
②當(dāng)△＜0，即-

6

＜a＜

6

時(shí)，f′（x）=3x²-2ax+2有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
且x1=

a- a2-6

3

，x2=

a+ a2-6

3

此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：(-∞，

a- a2-6

3

)，(

a+ a2-6

3

，+∞)
單調(diào)減區(qū)間為：(

a- a2-6

3

，

a+ a2-6

3

)
（2）x∈（2，+∞）時(shí)，f(x)＞

1

2

x恒成立，等價(jià)于x∈（2，+∞）時(shí)，x3-ax2+2x＞

1

2

x恒成立，等價(jià)于x∈（2，+∞）時(shí)，x3+

3

2

x＞ax2恒成立，等價(jià)于x∈（2，+∞）時(shí)，x+

3

2x

＞a，
令g(x)=x+

3

2x

，則g′(x)=1-

3

2x2

，x∈（2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
故x∈（2，+∞），g(x)＞g(2)=

7

4

，所以a≤

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．