Question

（2012•浙江模擬）已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=2|

b

|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f（x）=2x³+3|

a

|x²+6

a

•

b

x+5 在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量

a

，

b

的夾角的取值范圍是（　�。�

• A．[0.

  π

  6

  ]
• B．[0，

  π

  3

  ]
• C．（0，

  π

  3

  ]
• D．[

  π

  3

  ，π]

Answer 1

分析：求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+5 在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，可得判別式小于等于0在R上恒成立，再利用|

a

|=2|

b

|≠0，利用向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．

解答：解：求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=6x²+6|

a

|x+6

a

•

b

，則由函數(shù)f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+5 在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，
可得f′（x）=6x²+6|

a

|x+6

a

•

b

≥0恒成立，即 x²+|

a

|x+

a

•

b

≥0恒成立，故判別式△=

a

2-4

a

•

b

≤0 恒成立，
再由|

a

|=2|

b

|≠0，可得 4 |

b

|2≤8|

b

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞，
∴cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞∈[0，

π

3

]，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是利用判別式小于等于0在R上恒成立，屬于中檔題．