Question

16．函數(shù)f（x）=tan（3x+φ）的圖象的一個對稱中心是（$\frac{π}{4}$，0），其中0＜φ＜$\frac{π}{2}$，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)正切函數(shù)的對稱性，求出φ的值，然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=tan（3x+φ）的圖象的一個對稱中心是（$\frac{π}{4}$，0），
∴3×$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{kπ}{2}$，得φ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{4}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴當k=2時，φ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{4}$=π-$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
即f（x）=tan（3x+$\frac{π}{4}$），
由kπ-$\frac{π}{2}$＜3x+$\frac{π}{4}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{kπ}{3}$-$\frac{π}{4}$＜x＜$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{kπ}{3}$-$\frac{π}{4}$，$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$），k∈Z．

點評 本題主要考查正切函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)正切函數(shù)的對稱性求出φ的值是解決本題的關鍵．