已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn),PA、PB、PC兩兩垂直,H是△ABC的垂心,求證:PH⊥平面ABC.
考點(diǎn):直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:延長BH交AC于F,延長CH交AB于E,先通過線面垂直的判定定理證明出CA⊥平面PFB,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出PH⊥AC,同理推斷出PH⊥AB,最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出PH⊥平面ABC.
解答:
證明:延長BH交AC于F,延長CH交AB于E,
∵PB⊥PA,PB⊥PC,
∴PB⊥平面PAC,
∵BF⊥AC,
∴PF⊥AC,
∴CA⊥平面PFB,
∵PH?平面PFB,
∴PH⊥AC,
同理可證PH⊥AB,
∵AC?平面ABC,AB?平面ABC,AB∩AC=A,
∴PH⊥平面ABC.
點(diǎn)評:本題主要考查了線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì).要求學(xué)生對基礎(chǔ)定理能熟練記憶并靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sinα>0,cosα<0,則角α的終邊落在( 。
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、M分別是A1C1,A1D和B1A上任一點(diǎn),求證:平面A1EF∥平面B1MC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
,
b
為平面向量,且|
a
|=
3
,|
b
|=2,
a
,
b
的夾角為30°.
(Ⅰ)求|
a
+
b
|及|
a
-
b
|;
(Ⅱ)若向量
a
+
b
a
b
垂直,求實(shí)數(shù)λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分別是棱BC、AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2
(1)求證:C1E∥平面ADF;
(2)若點(diǎn)M在棱BB1上且BM=1,求證:平面ACM⊥平面ADF.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,其面積為
3
3
2
,且c+2acosC=2b.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若a=
7
,求b,c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

隨機(jī)地向半圓0<y<
2ax-x2
(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于
π
4
的概率為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義方程f(x)=f′(x)的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新駐點(diǎn)”,若函數(shù)g(x)=2x,h(x)=lnx,φ(x)=x3(x≠0)的“新駐點(diǎn)”分別為a、b、c,則a、b、c由大到小排列為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

式子(
x
+
1
3x
n的展開式中第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),且常數(shù)項(xiàng)為T,則:
(T+1)π
(T+
1
2
sinxdx=
 

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