Question

式子（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展開式中第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為T，則：

∫	(T+1)π (T+ 1 2 )π

sinxdx=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),定積分

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由展開式中第4項(xiàng)為

C

3 n

•x

n-5

2

是常數(shù)項(xiàng)，求得n=5，可得常數(shù)項(xiàng)為

C

3 5

=10=T，要求的式子可化為-cosx

|

11π 11π 2

，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：∵式子（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展開式中第4項(xiàng)為

C

3 n

•x

n-5

2

 是常數(shù)項(xiàng)，
∴n=5，故常數(shù)項(xiàng)為

C

3 5

=10=T，
∴：

∫	(T+1)π (T+ 1 2 )π

sinxdx=

∫

11π 11π 2

 sinxdx=-cosx

|

11π 11π 2

=-（cos11π-cos

11π

2

）=-（cosπ-cos

π

2

）
=cos

π

2

-cosπ=0-（-1）=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．