Question

已知直線l：y=kx-1與圓C：（x-1）²+y²=1相交于P、Q兩點，點M（0，b）滿足MP⊥MQ．
（Ⅰ）當b=0時，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）當時，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）設A、B是圓C：（x-1）²+y²=1上兩點，且滿足|OA|•|OB|=1，試問：是否存在一個定圓S，使直線AB恒與圓S相切．

Answer 1

【答案】分析：（I）當b=0時，M點即為原點，根據(jù)圓C的方程：（x-1）²+y²=1，原點（M點）落在圓上，若MP⊥MQ，則PQ為圓C：（x-1）²+y²=1直徑，將圓心坐標代入直線方程，即可求出實數(shù)k的值；
（Ⅱ）根據(jù)P、Q兩點在直線l：y=kx-1上，設出P，Q兩點的坐標為（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1），聯(lián)立方程后可以將方程看作是關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理，可將MP⊥MQ轉化為一個k與b的關系式，根據(jù) 時，即可得到實數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）設AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而根據(jù)|OA|•|OB|=1，求得y₂•y₁，進而把直線與圓方程聯(lián)立，求得y₂•y₁，進而根據(jù)原點O到直線AB距離求得d，進而判斷出直線AB恒與圓 相切．
解答：解：（Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題設條件可得x₁x₂+y₁y₂=0，將y=kx-1代入圓C：（x-1）²+y²=1得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，
故有，，
又y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1==
∴+=0，得k=1；
（Ⅱ）設P，Q兩點的坐標為（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1）
則由圓C：（x-1）²+y²=1及直線l：y=kx-1
得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0
則X₁•X₂=，X₁+X₂=
則 =（X₁，kX₁-1-b），=（X₂，kX₂-1-b）
由MP⊥MQ則
X₁•X₂+（kX₁-1-b）•（kX₂-1-b）=0
即
∵，∴b+1＜2，
∴∈[2，）
解得k≥1，
故實數(shù)k的取值范圍[1，+∞）
（Ⅲ）∵圓C的方程為（x-1）²+y²=1
設AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由|OA|•|OB|=1 x₁²+y₁²•x₂²+y₂²=1-（x₁-1）²+y₁²•1-（x₂-1）²+y₂²=2x₁•2x₂=1⇒x₁x₂=
又∵⇒（k²+1）x²+2（kλ-1）y+λ²=0，
∴，
又原點O到直線AB距離
∴，即原點O到直線AB的距離恒為
∴直線AB恒與圓 相切．
點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，直線與圓的綜合應用，（II）中應用的方法--“聯(lián)立方程”+“設而不求”+“韋達定理”是解答直線與圓錐曲線（包括圓）的綜合問題的常用方法，是解答高考壓軸題的關鍵．屬難題．