已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線l：x-y+
2
=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=4，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)；
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)D、E，當(dāng)△ODE面積最大時(shí)，求|DE|．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）由等軸雙曲線的離心率為
2
，根據(jù)條件得到橢圓的離心率為e=
2
2
，再由直線與圓相切，得b=1，由離心率公式得a2=2，從而有橢圓方程；
（Ⅱ）討論①若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB：：y=kx+m，m≠±1，聯(lián)立橢圓方程和直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由已知k1+k2=4，運(yùn)用斜率公式，化簡(jiǎn)整理，得到m=
k
2
-1，從而得到AB：y=kx+
k
2
-1，則AB恒過(guò)定點(diǎn)（-
1
2
，-1）；②若直線AB斜率不存在，設(shè)AB：x=x0，由條件求出直線AB：x=-
1
2
，故直線AB也過(guò)定點(diǎn)（-
1
2
，-1）．
（Ⅲ）設(shè)直線l：y=tx+2，設(shè)D（x3，y3），E（x4，y4），聯(lián)立橢圓方程和直線l的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式求出O到直線l的距離d，求出△ODE的面積S=
1
2
d•|DE|=
2
2
2t2-3
1+2t2
，令u=
2t2-3
＞0，則2t2=u2+3，再運(yùn)用基本不等式，即可求出最大值．
解答： （Ⅰ）解：∵等軸雙曲線的離心率為
2
，
∴由離心率互為倒數(shù)，得橢圓的離心率為e=
2
2
，即e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2
，
即a2=2b2，
∵直線l：x-y+
2
=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓x2+y2=b2相切．
∴b=1，a2=2，
即橢圓的方程為：
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）證明：①若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB：：y=kx+m，m≠±1，M（0，1）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
x1+x2=-
4km
1+2k2
，x1x2=
2m2-2
1+2k2
，由已知k1+k2=4，可得
y1-1
x1
+
y2-1
x2
=4
即
kx1+m-1
x1
+
kx2+m-1
x2
=4，2k-4+（m-1）
x1+x2
x1x2
=0，
將x1+x2，x1x2代入得到，k=2（m+1），即m=
k
2
-1，
則AB：y=kx+
k
2
-1，即y=k（x+
1
2
）-1，AB恒過(guò)定點(diǎn)（-
1
2
，-1）；
②若直線AB斜率不存在，設(shè)AB：x=x0，則A（x0，y0），B（x0，-y0），由
y0-1
x0
+
-y0-1
x0
=4，
得x0=-
1
2
，故直線AB：x=-
1
2
，故直線AB也過(guò)定點(diǎn)（-
1
2
，-1）．
綜上，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-
1
2
，-1）．
（Ⅲ）設(shè)直線l：y=tx+2，設(shè)D（x3，y3），E（x4，y4），聯(lián)立橢圓方程和直線l的方程，
得到（1+2t2）x2+8tx+6=0
由△＞0得t2＞
3
2
，x3+x4=-
8t
1+2t2
，x3x4=
6
1+2t2
，
則|DE|=
1+t2
|x3-x4|=
1+t2
•
16t2-24
1+2t2

由O到直線l的距離d=
2
1+t2
，
故△ODE的面積S=
1
2
d•|DE|=
2
2
2t2-3
1+2t2
，
令u=
2t2-3
＞0，則2t2=u2+3，
則S=
2
2
u
u2+4
=
2
2
u+
4
u
≤
2
2
2
4
=
2
2
．
當(dāng)且僅當(dāng)u=2，即t=±
14
2
，|DE|=
3
2
，△ODE的面積最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線方程、性質(zhì)：離心率的求法，直線與圓的位置關(guān)系：相切，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立橢圓方程和直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查直線的斜率是否存在，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于綜合題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-2(a+2)lnx+ax，a∈R
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＞a恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

化簡(jiǎn)求值：
（1）2 
1
2
+
(-4)0
2
+
1
2
-1
-
(1-
5
)0
；
（2）
1
5
（lg32-log 
1
2
16+6lg
1
2
）-
1
5
lg5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f（x）-ax （a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）在[-1，1]上的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若在區(qū)間[-1，1]上，y=g（x）的圖象恒在y=2x+7的圖象下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知tanα=
2
，求下列各式的值：
（1）
cosα+sinα
cosα-sinα

（2）2sin2α-sinαcosα+cos2α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的一段圖象如圖所示． 
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并指出f（x）的最大值及取到最大值時(shí)x的集合；
（3）把f（x）的圖象向左至少平移多少個(gè)單位，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=4時(shí)，求f（x）在區(qū)間（1，
9
2
）上的最值；
（Ⅲ）設(shè)a≠0函數(shù)f（x）在（p，q）上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出p，q的取值范圍（用a表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若（m+1）3＜（3-2m）3，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)命題p：方程
x2
4-t
+
y2
t-2
=1所表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；命題q：曲線y=x2+（2t-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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