Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=a_n-n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1，令n=1，求出a₁=1．再由S_n-S_n-1得a_n=2a_n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n=a_n-n，an=2n-1，得到bn=2n-1-n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-1，
令n=1，解得a₁=1．（2分）
∵S_n=2a_n-1，
∴Sn-1=2an-1-1，(n≥2，n∈N*)…（3分）
兩式相減得a_n=2a_n-1，…（5分）
∴{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，…（6分）
∴an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）解：∵b_n=a_n-n，an=2n-1，
bn=2n-1-n…（8分）

Tn=b1+b2+…+bn     =(20-1)+(21-2)+…+(2n-1-n)

=（2⁰+2¹+…+2^n-1）-（1+2+…+n）…（10分）
=2n-1-

n(n+1)

2

…（13分）
（說明：等比求和正確得（2分），等差求和正確得1分）

點評：本題考查數(shù)列等基本知識，考查推理論證能力和運算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想．