Question

【題目】函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，曲線BCD為拋物線的一部分．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；
（Ⅲ）若f（x）＞f（2﹣x），求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（ I）當(dāng)﹣1≤x≤0時，函數(shù)圖象為直線且過點（﹣1，0）（0，3），直線斜率為k=3，

所以y=3x+3；

當(dāng)0＜x≤3時，函數(shù)圖象為拋物線，設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），

當(dāng)x=0時，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，

所以 ．

（ II）當(dāng)x∈[﹣1，0]，令3x+3=1，解得 ；

當(dāng)x∈（0，3]，令x2﹣4x+3=1，解得 ，

因為0＜x≤3，所以 ，

所以 或 ；

（ III）當(dāng)x=﹣1或x=3時，f（x）=f（2﹣x）=0，

當(dāng)﹣1＜x＜0時，2＜2﹣x＜3，由圖象可知f（x）＞0，f（2﹣x）＜0，

所以f（x）＞f（2﹣x）恒成立；

當(dāng)0≤x≤2時，0≤2﹣x≤2，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＜2﹣x，即x＜1時f（x）＞f（2﹣x），所以0≤x＜1；

當(dāng)2＜x＜3時，﹣1＜2﹣x＜0，此時f（x）＜0，f（2﹣x）＞0不合題意；

所以x的取值范圍為﹣1＜x＜1

【解析】（I）當(dāng)﹣1≤x≤0時圖形為直線，根據(jù)兩點坐標(biāo)可求出解析式；當(dāng)0＜x≤3時，函數(shù)圖象為拋物線，設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），帶入坐標(biāo)點可求出拋物線方程；（II）函數(shù)f（x）圖形與直線y=1的交點橫坐標(biāo)即為所求x的值；（III）結(jié)合函數(shù)圖形，利用函數(shù)的單調(diào)性來求解x的取值范圍；
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的值(函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法)．