Question

有人玩擲硬幣走跳跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是0.5．棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…第10站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次． 若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+1）；若擲出反面，棋子向前跳二站（從k到k+2），直到棋子跳到第9站（勝利大本營）或跳到第10站（失敗集中營）時，該游戲結(jié)束．那么棋子跳到第10站的概率為

683

1024

．

Answer 1

分析：設(shè)棋子跳到第n站的概率為P（n），將棋子跳到第n站的事件分為兩種情況：①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站時擲出正面，跳動一次到第n站；②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站時擲出反面，跳動二次到第n站．據(jù)此得到遞推關(guān)系式：P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2），然后變形得到數(shù)列{P（n+1）-P（n）}是公比為-

1

2

的等比數(shù)列，最后用累加的方法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可算出棋子跳到第10站的概率．

解答：解：設(shè)棋子跳到第n站的概率為P（n），
根據(jù)題意，棋子要到第n站，有兩種情況，（2≤n≤10）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站時擲出正面，其概率為

1

2

P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站時擲出反面，其概率為

1

2

P（n-2），
則P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2），
∴P（n+1）=

1

2

P（n）+

1

2

P（n-1），
兩邊都減去P（n），得P（n+1）-P（n）=-

1

2

[P（n）-P（n-1）]，（1≤n≤9，n∈N），
故數(shù)列{P（n+1）-P（n）}是等比數(shù)列，它的公比為-

1

2

，
∵P（1）=

1

2

，P（2）=

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
首項為    P（2）-P（1）=

1

4

=(-

1

2

)2…（1）
第二項為  P（3）-P（2）=-

1

2

[P（2）-P（1）]=-

1

8

=(-

1

2

)3…（2）
第三項為  P（4）-P（3）=-

1

2

[P（3）-P（2）]=

1

16

=(-

1

2

)4…（3）
…
第九項為 P（10）-P（9）=-

1

2

[P（9）-P（8）]=

1

210

=(-

1

2

)10…（9）
將此九個式累加，得P（10）-P（1）=[(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+(-

1

2

)4+…+(-

1

2

)10]=

1 4 [1-( - 1 2 )9]

1-(- 1 2 )

=

171

1024

∴P（10）=P（1）+

171

1024

=

1

2

+

171

1024

=

683

1024

故答案為：

683

1024

點評：本題借助于一個隨機(jī)事件的概率問題，著重考查了等可能事件的概率公式和等比數(shù)列的通項與求和等知識點，屬于難題．