Question

18．設二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）
（1）當b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1時，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表達式．
（2）若方程f（x）=0有兩個非整數(shù)實根，且這兩實數(shù)根在相鄰兩整數(shù)之間，試證明存在整數(shù)k，使得|f（k）|≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)的對稱軸方程，討論對稱軸和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，運用函數(shù)的單調(diào)性即可得到最小值；
（2）設m＜x₁＜x₂＜m+1，m為整數(shù)．分類討論k的存在性，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）當b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1時，f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1，對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
當a≤-2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞減，則g（a）=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2；
當-2＜a≤2時，即有-1≤-$\frac{a}{2}$＜1，則g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1；
當a＞2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞增，則g（a）=f（-1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{a}^{2}}{4}+a+2，a≤2\\ 1，-2＜a≤2\\ \frac{{a}^{2}}{4}-a+2，a＞2\end{array}\right.$…（6分）
（2）設m＜x₁＜x₂＜m+1，m為整數(shù)．
則△=a²-4b＞0，即b＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，
①當-$\frac{a}{2}$∈（m，m+$\frac{1}{2}$]，即-1≤a+2m＜0時，
f（m）=m²+am+b＜m²+am+$\frac{{a}^{2}}{4}$=（m+$\frac{a}{2}$）²≤$\frac{1}{4}$；
②當-$\frac{a}{2}$∈（m+$\frac{1}{2}$，m+1），即-2＜a+2m＜-1時，
f（m+1）=（m+1）²+a（m+1）+b＜（m+2）²+a（m+1）+$\frac{{a}^{2}}{4}$=（m+1+$\frac{a}{2}$）²≤$\frac{1}{4}$；
綜上，存在整數(shù)k，使得|f（k）|≤$\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．