（2012•成都模擬）已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]；
（I）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（II）若f（x）=
a
•
b
-
3
|
a
+
b
|sinx，求f（x）的最大值與最小值．
分析：（I）由向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
）代入向量數(shù)量積公式，再利用兩角和的余弦公式可得
a
•
b
，再利用平方法求出|
a
+
b
|2，結合x∈[0，
π
2
]，可得|
a
+
b
|；
（II）由（I）求出函數(shù)的解析式，并利用和差角公式進行化簡，結合x∈[0，
π
2
]求出相位角2x+
5
6
π的范圍，進而由正弦函數(shù)的圖象和性質，可求出f（x）的最大值與最小值
解答：解：（I）∵向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），
∴
a
•
b
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x）•（cos
x
2
，-sin
x
2
）=cos
3
2
x•cos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
=cos（
3
2
x+
x
2
）=cos2x，
|
a
|=|
b
|=1
∴|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=2+2cos2x=4cos2x
又∵x∈[0，
π
2
]
∴|
a
+
b
|=2cosx
（II）∵f（x）=
a
•
b
-
3
|
a
+
b
|sinx=cos2x-2
3
cosxsinx=cos2x-
3
sin2x=2sin（2x+
5
6
π）
∵x∈[0，
π
2
]，
∴2x+
5
6
π∈[
5
6
π，
11
6
π]
∴當2x+
5
6
π=
5
6
π，即x=0時，函數(shù)取最大值1，
當2x+
5
6
π=
3π
2
，即x=
π
3
時，函數(shù)取最小值-2
點評：本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積運算，向量的模，兩角和差公式，倍角公式，正弦型函數(shù)的最值，是三角函數(shù)與向量的綜合應用，難度中等．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•成都模擬）設函數(shù)f（x）=-
13
x3+2ax2-3a2x+b（常數(shù)a，b滿足0＜a＜1，b∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若對任意的x∈[a+1，a+2]，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•成都模擬）定義：若平面點集A中的任一個點（x0，y0），總存在正實數(shù)r，使得集合B={(x，y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
＜r}⊆A，則稱A為一個開集，給出下列集合：
①{（x，y）|x2+y2=1}；      
②{（x，y|x+y+2＞0）}；
③{（x，y）||x+y|≤6}；     
④{(x，y)|0＜x2+(y-
2
)2＜1}．
其中是開集的是
②④
②④
．（請寫出所有符合條件的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•成都模擬）向量
OA
=(2，0)，
OB
=(2+2cosθ，2
3
+2sinθ)，則向量
OA
與
OB
的夾角的范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•成都模擬）已知函數(shù)f(x)=
3
sinx，g(x)=cos(π+x)，直線x=a與f（x），g（x）的圖象分別交于M，N兩點，則|MN|的最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•成都模擬）在銳角△ABC中，已知5
.
AC
•
.
BC
=4|
.
AC
|•|
.
BC
|，設
m
=（sinA，sinB），
n
=（cosB，-cosA）且
m
•
n
=
1
5
，
求：（1）sin（A+B）的值；（2）tanA的值．

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