Question

（2012•成都模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=-

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x3+2ax²-3a²x+b（常數(shù)a，b滿足0＜a＜1，b∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對(duì)任意的x∈[a+1，a+2]，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值；
（2）將條件轉(zhuǎn)化為不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，進(jìn)而可得不等式組，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=-x²+4ax-3a²，令f′（x）＞0，得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a）．
令f′（x）＜0，得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a）和 （3a，+∞）；
∴當(dāng)x=a時(shí)，f（x）極小值=-

4

3

a3+b；當(dāng)x=3a時(shí)，f（x）極大值=b．
（2）由|f′（x）|≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a．①
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a．
∴f′（x）=-x²+4ax-3a²在[a+1，a+2]上是減函數(shù)．
∴f′（x）_max=f′（a+1）=2a-1，f′（x）_min=f（a+2）=4a-4．
于是，對(duì)任意x∈[a+1，a+2]，不等式①恒成立等價(jià)于

-a≤4a-4 a≥2a-1

　　　解得

4

5

≤a≤1
又0＜a＜1，∴

4

5

≤a＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．