Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）解不等式f(x)＞

7

9

．

Answer 1

（1）f（x）為奇函數(shù)．∵f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)?x∈R，
有f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，∴f（x）為奇函數(shù)．…（4分）
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．∵對(duì)-∞＜x₁＜x₂＜+∞，2x1-2x2＜0，f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
故 f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．…（8分）
（3）∵f(3)=

7

9

，又∵f(x)＞

7

9

，即為f（x）＞f（3）．…（10分）
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴不等式f(x)＞

7

9

的解集為{x|x＞3}．…（13分）