Question

已知圓C：（x-1）²+y²=1，過原點O作圓的任一弦，求弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

解：（一）直接法：設OQ為過O的任一條弦P（x，y）是其中點，圓心C（1，0）
則CP⊥OQ，則
∴（x-1，y）（x，y）=0，即
（二）定義法：∵∠OPC=90°，動點P在以為圓心，OC為直徑的圓上，
∴所求點的軌跡方程為
（三）參數(shù)法：設動弦PQ的方程為y=kx，由
得：（1+k²）x²-2x=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ的中點為（x，y），則：，
消去k得．
分析：方法一：設出P（x，y）將位置關系CP⊥OQ轉化為內積為0，用坐標表示向量，整理即得軌跡方程．
方法二：注意到：∵∠OPC=90°，動點P在以為圓心，OC為直徑的圓上，故可以求出圓心與半徑，寫出圓的標準方程．
方法三：動弦PQ的方程為y=kx，與圓的方程聯(lián)立，利用中點坐標公式與根系關系求出中點坐標的用參數(shù)k表示的參數(shù)方程，消去參數(shù)k得到點P的軌跡方程．
點評：考查求軌跡方程的方法，同一個位置關系，因為著手的角度的不同，轉化出了三個不同的方向，請讀者認真體會這三種情況的同與不同．