Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+1=0外一點P，從P向圓C引切線，切點為A，B、O是原點．
（Ⅰ）當點P的坐標為（3，-2）時，求過A，B，P三點的圓的方程．
（Ⅱ）當∠AOP=∠PAO時，求使|AP|最小時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)PQ⊥AP，PQ⊥BP可判斷出P，Q，A，B共圓，PQ為直徑，根據(jù)圓C的方程可求得圓心坐標，進而求得PQ的長度和中點坐標從而求得所求圓的圓心和半徑，則圓的方程可得．
（2）設(shè)P（x，y），根據(jù)∠AOP=∠PAO可知|PA|=|PO|，PA是圓C的切線，進而可知CA⊥PA，利用勾股定理求得x和y的關(guān)系式，推斷出點P的軌跡為一條直線，顯然該直線與圓相離要求|AP|的最小值，即求|OP|的最小值，當OP⊥l時|OP|有最小值易知此時OP的斜率是-2進而可求得OP的方程，最后兩直線方程聯(lián)立求得點P的坐標．

解答：解：（1） 已知圓C：x²+y²+2x-4y+1=0則
（x+1）²+（y-2）²=4 設(shè)其圓心為 Q（-1，2）得到
PQ²=（3+1）²+（2+2）²=32
∵PQ⊥AP，PQ⊥BP
∴P，Q，A，B共圓，PQ為直徑，
則 PQ 的中點 R（1，0） 為過A，B，P三點的圓的圓心
所以（x-1）²+y²=8 為過A，B，P三點的圓的方程
（2）將圓的方程化為標準式：
設(shè)P（x，y）
因∠AOP=∠PAO
故|PA|=|PO|
即|PA|²=|PO|²
因PA是圓C的切線
故CA⊥PA
故|PA|²=|PC|²-r²
故|PC|²-r²=|PO|²
即（x+1）²+（y-2）²-4=x²+y²
化簡得：
2x-4y+1=0
易知P的軌跡是一條直線l
顯然該直線與圓相離
要求|AP|的最小值，即求|OP|的最小值
顯然當OP⊥l時|OP|有最小值
易知此時OP的斜率是-2
故OP：y=-2x
聯(lián)立，解得P坐標為（-

1

10

，

1

5

）．

點評：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運用．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．