Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，設(shè)為橢圓上一點，且滿足（為坐標(biāo)原點），當(dāng)＜ 時，求實數(shù)取值范圍．

 

Answer 1

（1） ；( Ⅱ) .

【解析】

試題分析：（1）由題意知，所以．由此能求出橢圓C的方程．（2）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0再由根的判別式和嘏達定理進行求解．

【解析】
（1）由題意知， 所以．

即．2分

又因為，所以，．

故橢圓的方程為．4分

（2）由題意知直線的斜率存在.

設(shè)：，，，，

由得.

，.6分

，.

∵，∴，，

.

∵點在橢圓上，∴，

∴.8分

∵＜，∴，∴

∴，

∴，∴.10分

∴，∵，∴，

∴或，∴實數(shù)t取值范圍為．（12分）

考點：1. 橢圓的方程；2.直線與橢圓的方程.