從A,B,C,D四個中選做2個A.選修4-1(幾何證明選講)
如圖,AB是半圓的直徑,C是AB延長線上一點,CD切半圓于點D,CD=2,DE⊥AB,垂足為E,且E是OB的中點,求BC的長.
B.選修4-2(矩陣與變換)
將曲線xy=1繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,求所得曲線的方程.
C.選修4-4(坐標系與參數(shù)方程)
求直線
x=1+2t
y=1-2t
(t為參數(shù))被圓
x=3cosa
y=3sina
(α為參數(shù))截得的弦長.
D.選修4-5(不等式選講)
已知x,y均為正數(shù),且x>y,求證:2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3
分析:A、連接OD、BD,確定△BOD是等邊三角形,再在直角三角形OCD中,可得OD的長,最后根據(jù)題中圓的切線條件,依據(jù)切割線定理求得BC的長;
B、確定旋轉(zhuǎn)變換矩陣,設(shè)xy=1上的任意點P'(x',y')在變換矩陣M作用下為P(x,y),確定坐標之間的關(guān)系,即可求得曲線的方程;
C、化參數(shù)方程為普通方程,求出圓心到直線的距離,即可求得截得的弦長;
D、設(shè)x=y+z(z>0),則原式=2(y+z)+
1
z2
=2y+2z+
1
z2
,利用基本不等式可得結(jié)論.
解答:A、解:連接OD、BD,
∵DE⊥AB,垂足為E,且E是OB的中點
∴可得等腰三角形BOD是等邊三角形,
∵在直角三角形OCD中,CD=2,
∴可得OD=
2
3
3
,
∵CD是圓O的切線,∴由切割線定理得CD2=CB×CA,
即4=CB×(CB+
4
3
3
),∴BC=
2
3
3
;
B、解:由題意,得旋轉(zhuǎn)變換矩陣M=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2

設(shè)xy=1上的任意點P'(x',y')在變換矩陣M作用下為P(x,y),則
2
2
-
2
2
2
2
2
2
x′
y′
=
x
y

∴x=
2
2
x′-
2
2
y′,y=
2
2
x′-
2
2
y′,
∵xy=1,∴
y2
2
-
x2
2
=1
;
C、直線
x=1+2t
y=1-2t
(t為參數(shù))的普通方程為x+y-2=0,圓
x=3cosa
y=3sina
(α為參數(shù))的普通方程為x2+y2=9
∴圓心到直線的距離為
2
2
=
2
,∴截得的弦長為2
9-2
=2
7
;
D、證明:設(shè)x=y+z(z>0),則原式=2(y+z)+
1
z2
=2y+2z+
1
z2

∵2z+
1
z2
=z+z+
1
z2
≥3
∴2y+2z+
1
z2
≥2y+3
∴2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3
點評:本題考查選講知識,考查幾何證明選講、旋轉(zhuǎn)變換、參數(shù)方程、不等式的證明,綜合性強.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)用a,b,c,d四個不同字母組成一個含n+1(n∈N+)個字母的字符串,要求由a開始,相鄰兩個字母不同.例如n=1時,排出的字符串是ab,ac,ad;n=2時排出的字符串是aba,abc,abd,aca,acb,acd,ada,adb,adc,…,如圖所示.記這含n+1個字母的所有字符串中,排在最后一個的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an
(1)試用數(shù)學歸納法證明:an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*,n≥1)
;
(2)現(xiàn)從a,b,c,d四個字母組成的含n+1(n∈N*,n≥2)個字母的所有字符串中隨機抽取一個字符串,字符串最后一個的字母恰好是a的概率為P,求證:
2
9
≤P≤
1
3

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A.選修4—1 幾何證明選講
如圖,設(shè)△ABC的外接圓的切線AEBC的延長線交于點E,∠BAC的平分線與BC交于點D。求證:。
B.選修4—2 矩陣與變換
在平面直角坐標系中,設(shè)橢圓在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到曲線F,求F的方程。
C.選修4—4 參數(shù)方程與極坐標
在平面直角坐標系中,點是橢圓上的一個動點,求的最大值。
D.選修4—5 不等式證明選講
設(shè)ab,c為正實數(shù),求證:

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科目:高中數(shù)學 來源:2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題(江蘇卷) 題型:解答題

從A,B,C,D四個中選做2個,每題10分,共20分

A.選修4—1 幾何證明選講

如圖,設(shè)△ABC的外接圓的切線AEBC的延長線交于點E,∠BAC的平分線與BC交于點D。求證:

B.選修4—2 矩陣與變換

在平面直角坐標系中,設(shè)橢圓在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到曲線F,求F的方程。

C.選修4—4 參數(shù)方程與極坐標

在平面直角坐標系中,點是橢圓上的一個動點,求的最大值。

D.選修4—5 不等式證明選講

設(shè)a,bc為正實數(shù),求證:。

 

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