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10.對于函數f1(x)、f2(x)、h(x),如果存在實數a,b使得h(x)=a•f1(x)+bf2(x),那么稱h(x)為f1(x)、f2(x)的和諧函數.
(1)已知函數f1(x)=x-1,f2(x)=3x+1,h(x)=2x+2,試判斷h(x)是否為f1(x)、f2(x)的和諧函數?并說明理由;
(2)已知h(x)為函數f1(x)=log3x,f2(x)=log{\;}_{\frac{1}{3}}}x的和諧函數,其中a=2,b=1,若方程h(9x)+t•h(3x)=0在x∈[3,9]上有解,求實數t的取值范圍.

分析 (1)h(x)是f1(x)、f2(x)的和諧函數,存在a=-1,b=1,設h(x)=af1(x)+bf2(x),利用新定義判斷即可.
(2)解法一:方程2log39x+log139x+t[2log33x+log133x]=0在x∈[3,9]上有解,即log3(9x)+t•log3(3x)=0在x∈[3,9]上有解,設m=log3x,x∈[3,9],則m∈[1,2],原問題可以轉化關于m的方程(1+t)m+(t+2)=0在m∈[1,2]上有解,令g(m)=(1+t)m+(t+2)通過g(1)•g(2)≤0,求解即可.
(2)解法二:log3(9x)+t•log3(3x)=0,化簡得:2+log3x+t(1+log3x)=0,原式可轉化為方程t=2+log3x1+log3x在x∈[3,9]區(qū)間上有解,即求函數gx=2+log3x1+log3x在x∈[3,9]的值域,通過分離常數法,求解即可.

解答 解:(1)h(x)是f1(x)、f2(x)的和諧函數,因為存在a=-1,b=1
使h(x)=-f1(x)+f2(x)…2分
設h(x)=af1(x)+bf2(x),則2x+2=a(x-1)+b(3x+1),
所以{a+3b=2ba=2,{a=1b=1
所以h(x)是f1(x)、f2(x)的和諧函數.…6分
(2)解法一:依題意,由方程2log39x+log139x+t[2log33x+log133x]=0在x∈[3,9]上有解,即log3(9x)+t•log3(3x)=0在x∈[3,9]上有解,
化簡得:2+log3x+t(1+log3x)=0…10分
設m=log3x,x∈[3,9],則m∈[1,2],即 (1+m)•t+(t+2)=0
原問題可以轉化關于m的方程(1+t)m+(t+2)=0在m∈[1,2]上有解,
令g(m)=(1+t)m+(t+2)…13分
由題意得:g(1)•g(2)≤0,解得32t43
綜上:32t43…16分
(2)解法二:log3(9x)+t•log3(3x)=0,化簡得:2+log3x+t(1+log3x)=0…10分
因為x∈[3,9],所以(1+log3x)∈[2,3],
原式可轉化為方程t=2+log3x1+log3x在x∈[3,9]區(qū)間上有解
即求函數gx=2+log3x1+log3x在x∈[3,9]的值域…12分
gx=2+log3x1+log3x=111+log3x,因為  2≤1+log3x≤3
由反比例函數性質可得,函數g(x)的值域為[3243]
所以實數t的取值范圍[3243].…16分.

點評 本題考查函數與方程的綜合應用,考查轉化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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