Question

已知函數(shù)f（x）=

sinx

x2+1

．下列命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱； 
②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
③當(dāng)x=

π

2

時，函數(shù)f（x）取最大值；
④函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=

1

x

的圖象沒有公共點．
其中正確命題的序號是（　�。�

• A、①③
• B、②③
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：研究函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)，逐一判斷．

解答：解：函數(shù)定義域為R，且f（-x）=-f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，故①正確；
y=sinx是周期函數(shù)，而y=x²+1不是周期函數(shù)，故f（x）不是周期函數(shù)，即②錯誤；
f′(x)=

(x2+1)cosx-2xsinx

(x2+1)2

，f′(

π

2

)≠0，故f(

π

2

)不是最值，即③錯誤；
因為f(x)-

1

x

=

sinx-x- 1 x

x2+1

，當(dāng)x＞0時，sinx＜x，

1

x

＞0，故sinx-x-

1

x

＜0，f（x）＜0；
當(dāng)x＞0時，sinx＞x，

1

x

＜0，故sinx-x-

1

x

＞0，f（x）＞0．即函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=

1

x

的圖象沒有公共點，④正確．
故選：C．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、最值與圖象問題，屬中檔題，須逐一研究之．