Question

關(guān)于x的方程x³-3x²-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造f（x）=x³-3x²-a，則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），可知f（0）=-a為極大值，f（2）=-4-a為極小值，從而當(dāng)極大值大于0，極小值小于0時(shí)，有三個(gè)不等實(shí)根，由此可得a的取值范圍．

解答： 解：假設(shè)f（x）=x³-3x²-a，
由題意知使函數(shù)f（x）=x³-3x²-a的極大值大于0且極小值小于0即可，
則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
∴函數(shù)在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)增，在（0，2）上單調(diào)減
∴f（0）=-a為極大值，f（2）=-4-a為極小值
當(dāng)f（0）＞0，f（2）＜0時(shí)，即-a＞0，-4-a＜0，即-4＜a＜0時(shí)，有三個(gè)不等實(shí)根
故選A．
故答案為：（-4，0）

點(diǎn)評(píng)：本題以方程為載體，考查方程根的問題，考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．