Question

（本題滿分13分)已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，時(shí)，有成立.

（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（2）解不等式；

（3）若對(duì)所有的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）在上為增函數(shù)，證明詳見(jiàn)解析；（2）解集為：；（3）或或.

【解析】

試題分析：（1）抽象函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)緊扣定義，從條件出發(fā)，若能了解一些函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)定義：如且，為區(qū)間上的增（減）函數(shù)

（），則判斷更快捷些；（2）利用（1）的單調(diào)性結(jié)論解題，但不要忘記定義域；（3）恒成立求參數(shù)范圍，常用的方法有：一、分離參數(shù)；二、數(shù)形結(jié)合；三、變更主元；四、等價(jià)轉(zhuǎn)化.這里可先運(yùn)用參數(shù)分離，然后用變更主元法，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）任取，則

，，由已知，又

，即，所以在上為增函數(shù)；

（2）在上為增函數(shù)，故有，由此解得，所以原不等式的解集為：.

（3）由（1）可知：在上為增函數(shù)，且，故對(duì)于，恒有.

所以要使，對(duì)所有，恒成立，即要成立，

故成立.設(shè)，即對(duì)，恒成立，則只需，解得或或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：或或.

考點(diǎn)：函數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立含參數(shù)問(wèn)題的研究.