如圖所示，某住宅小區(qū)有一個矩形休閑廣場ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根據(jù)小區(qū)業(yè)主建議，需將其擴大成矩形區(qū)域EFGH，要求A、B、C、D四個點分別在矩形EFGH的四條邊（不含頂點）上．設∠BAE=θ，EF長為y米．
（1）將y表示成θ的函數(shù)；
（2）求矩形區(qū)域EFGH的面積的最大值．
考點：三角函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,三角函數(shù)中的恒等變換應用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）由幾何圖形結合解直角三角形知識將y表示成θ的函數(shù)；
（2）直接由矩形面積等于長乘寬列出面積關于θ的表達式，結合三角函數(shù)的化簡與求值得答案．
解答： 解：（1）如圖，
由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°-θ，
再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．
由AB=40（米），BC=30（米），四邊形ABCD為矩形，得DC=40（米），
因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），
因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；
（2）SEFGH=EF•FG=1200sin2θ+1200cos2θ+2500sinθcosθ
=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．
因此θ=45°時，SEFGH取到最大值，最大值為2450．
因此，矩形區(qū)域EFGH的面積的最大值為2450平方米．
點評：本題考查了簡單的數(shù)學建模思想方法，考查了三角函數(shù)的化簡與求值，正確將y表示成θ的函數(shù)是解答該題的關鍵，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f′（x）的圖象可能是
 
（填序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線的頂點坐標為原點，對稱軸為x軸，且與圓x2+y2=16相交的公共弦長等于4
3
，則這個拋物線的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a，b均為正數(shù)，則函數(shù)f（x）=（a2+b2）x+ab的零點的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x2-2x零點個數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點P（3，5）且與圓（x-2）2+（y-3）2=1相切的切線方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在空間坐標系O-xyz之中，M（0，1，2），N（-1，2，1），則|MN|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了解甲、乙兩種品牌手機的電池充滿電后的待機時間（假設都在24～96小時范圍內(nèi)），從這兩種
手機的電池中分別隨機抽取100個進行測試，結果統(tǒng)計如下表．
待機時間分段[24，36）[36，48）[48，60）[60，72）[72，84）[84，96]
甲種手機電池個數(shù)5154025105
乙種手機電池個數(shù)1030302271
（Ⅰ）估計甲品牌手機的電池充滿電后的待機時間小于48小時的概率；
（Ⅱ）這兩種品牌的手機的電池充滿電后，某個電池已使用了48小時，試估計該電池是甲品牌手機的電池的概率；
（Ⅲ）由于兩種品牌的手機的某些差異，普遍認為甲品牌手機比乙品牌手機更顯“低調(diào)”，銷售商隨機調(diào)查了110名購買者，并將有關數(shù)據(jù)整理為不完整的2×2列聯(lián)表，寫出表中A、B、C、D、E
的值，并判斷是否有99%的把握認為喜歡“低調(diào)型”手機與消費者的年齡有關？
喜歡“低調(diào)型”不喜歡“低調(diào)型”
45歲以下30A50
45歲以上B1060
合計CDE
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d
P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.0050.001
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在直角三棱柱A1B1C1-ABC中，∠ABC=90°，M、N分別為B1B、A1C1的中點．
（1）求證：平面ABC1⊥平面B1BC；
（2）求證：MN∥平面ABC1．

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