Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對任意的正實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，f（4）=1，
（1）求證：f（1）=0；
（2）求f（）；
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

Answer 1

解：（1）證明：令x=4，y=1，則f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，
故f（）=-2．
（3）設(shè)x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（）＞0，
∴f（x₁）=f（×x₂）=f（）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x）為x∈（0，+∞）上的增函數(shù)．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴?3＜x≤4．
∴原不等式的解集為{x|3＜x≤4}．
分析：（1）根據(jù)對任意的正實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；
（2）令x=4，y=4，代入求得f（16），而f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，即可求得f（）的值；
（3）根據(jù)當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，把f（x）+f（x-3）≤1化為f[x（x-3）]≤1=f（4），根據(jù)單調(diào)性，去掉對應(yīng)法則f，解不等式．
點(diǎn)評：此題是個中檔題題，考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法．