Question

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+

π

6

)+

3

cos(ωx+

π

6

)(ω＞0)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和的正弦公式將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)，由函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

2

知f（x）的周期為π，利用用三角函數(shù)的周期公式得到ω的值，得到f（x）的表達(dá)式；
（II）按照?qǐng)D象的變換，得到函數(shù)g（x）的解析式，令整體角

x

2

-

π

3

在余弦的單調(diào)區(qū)間上，求出x的范圍，寫(xiě)出區(qū)間形式即為g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sin(ωx+

π

6

+

π

3

)=2sin(ωx+

π

2

)=2cosωx．…（3分）
由題意得

2π

ω

=2•

π

2

，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．…（6分）
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，得到f(x-

π

6

)的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f(

x

4

-

π

6

)的圖象．

所以g(x)=f( x 4 - π 6 )=2cos[2( x 4 - π 6 )]=2cos( x 2 - π 3 ).

…（9分）
當(dāng)2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），
即4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

（k∈Z）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減．
因此g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]（k∈Z）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式，考查了由三角函數(shù)的部分圖象的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，還考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．