Question

（2012•豐臺區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的焦點在y軸上，且拋物線上的點P（x₀，4）到焦點F的距離為5．斜率為2的直線l與拋物線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，及拋物線在P點處的切線方程；
（Ⅱ）若AB的垂直平分線分別交y軸和拋物線于M，N兩點（M，N位于直線l兩側(cè)），當(dāng)四邊形AMBN為菱形時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程，根據(jù)點P到焦點F的距離為5，可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用導(dǎo)數(shù)，即可求得拋物線在P點處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求得AB的中點，從而可得AB的垂直平分線方程，進(jìn)一步確定M、N的坐標(biāo)，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）依題意設(shè)拋物線C：x²=2py（p＞0），
因為點P到焦點F的距離為5，所以點P到準(zhǔn)線y=-

p

2

的距離為5．
因為P（x₀，4），所以由拋物線準(zhǔn)線方程可得

p

2

=1，∴p=2．
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y．                   …（4分）
即y=

1

4

x2，所以 y′=

1

2

x，點P（±4，4），
所以y′|x=-4=

1

2

×(-4)=-2，y′|x=4=

1

2

×4=2．
所以點P（-4，4）處拋物線切線方程為y-4=-2（x+4），即2x+y+4=0；點P（4，4）處拋物線切線方程為y-4=2（x-4），即2x-y-4=0．
所以P點處拋物線切線方程為2x+y+4=0，或2x-y-4=0．   …（7分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=2x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2=4y y=2x+m

，消y得x²-8x-4m=0，△=64+16m＞0．
所以x₁+x₂=8，x₁x₂=-4m，
所以

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=8+m，
即AB的中點為Q（4，8+m）．
所以AB的垂直平分線方程為y-(8+m)=-

1

2

(x-4)．
因為四邊形AMBN為菱形，所以M（0，m+10），
因為M，N關(guān)于Q（4，8+m）對稱，所以N點坐標(biāo)為N（8，m+6），
因為N在拋物線上，所以64=4×（m+6），即m=10，
所以直線l的方程為y=2x+10．       …（14分）

點評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的切線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的而運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．