Question

在（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中，x⁵的系數(shù)是

207

．

Answer 1

分析：先將多項(xiàng)式展開，分析可得（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中的x⁵的系數(shù)是（1+x）¹⁰的展開式中的x⁵的系數(shù)減去（1+x）¹⁰的x²的系數(shù)，利用二項(xiàng)式定理可得（1+x）¹⁰展開式的含x⁵的系數(shù)與含x²的系數(shù)，相減可得答案．

解答：解：∵（1-x³）（1+x）¹⁰=（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰，
則（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中的x⁵的系數(shù)是（1+x）¹⁰的展開式中的x⁵的系數(shù)減去（1+x）¹⁰的x²的系數(shù)，
由二項(xiàng)式定理，（1+x）¹⁰的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₁₀^rx^r，
令r=5，得（1+x）¹⁰展開式的含x⁵的系數(shù)為C₁₀⁵，
令r=2，得其展開式的含x²的系數(shù)為C₁₀² ，
則x⁵的系數(shù)是C₁₀⁵-C₁₀²=252-45=207，
故答案為 207．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式定理解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，解題的關(guān)鍵在于多項(xiàng)式的展開、整理變形，屬于中檔題．